บทที่ 5 การประมาณค่าและทดสอบสมมติฐาน

บทที่ 5

การประมาณค่า (Estimation)

1. การประมาณค่าแบบจุด (Point Estimation)

เป็นการประมาณค่าพารามิเตอร์ของประชากรด้วยค่าเพียงค่าเดียว (Single valued Estimation หรือ Point Estimation) ซึ่งการประมาณค่าแบบนี้อาจจะมีค่าเท่ากับค่าพารามิเตอร์หรืออาจมีโอกาสที่จะได้ค่าที่คาดเคลื่อนไปจากค่าพารามิเตอร์ได้มาก ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับหน่วยตัวอย่างที่นำมาวิเคราะห์ (ถ้าหน่วยตัวอย่างนั้นได้มาจากการสุ่มตัวอย่าง ก็จะสามารถควบคุมความคลาดเคลื่อนได้ระดับหนึ่ง)
หมายเหตุ การประมาณค่าพารามิเตอร์ซึ่งเป็นลักษณะของประชากรโดยใช้ข้อมูลตัวอย่าง หรือทำการประมาณค่าพารามิเตอร์ด้วยค่าสถิติ สัญลักษณ์ที่ใช้แทนค่าพารามิเตอร์และค่าสถิติ เช่น

       ค่าที่ประมาณได้จากการประมาณค่าแบบจุด จะมีลักษณะเป็นตัวเลขประมาณค่าเดียว เรียกเป็น ค่าประมาณ (estimate) เช่น ประมาณค่าเฉลี่ยค่าใช้จ่ายในการรักษาพยาบาลของผู้ป่วยโรคหอบที่มารับการรักษาในโรงพยาบาลสุโขทัย เท่ากับ 4,950 บาท

2. การประมาณค่าแบบช่วง (Interval Estimation)

ช่วงความเชื่อมั่น (confidence interval) หมายถึง ช่วงของค่าประมาณที่ประกอบไปด้วยค่าต่ำสุด (a) และค่าสูงสุด (b) ที่คำนวณขึ้นมา ช่วงดังกล่าวจะคลุมค่าของพารามิเตอร์ ด้วยความน่าจะเป็นตามที่กำหนด ตัวอย่างเช่น ช่วงความเชื่อมั่น 90% ของค่าใช้จ่ายโดยเฉลี่ยของผู้ป่วยโรคหอบที่มารับการรักษา ในโรงพยาบาลสุโขทัย อยู่ระหว่าง 3,370 - 6,480.-บาท หมายถึงว่า “มีความมั่นใจ 90% ที่ช่วงของการประมาณค่าใช้จ่ายโดยเฉลี่ยที่ได้ (3,370 - 6,480.-บาท) จะครอบคลุมค่าใช้จ่ายที่เป็นค่าเฉลี่ยจริงของผู้ป่วย” ที่ระดับบความเชื่อมั่นนี้ จะเขียนแทนด้วยสัญญลักษณ์ (1-α)100% โดยที่ 0 < α < 1 และเรียกค่า 1-α ว่า สัมประสิทธิ์ของความเชื่อมั่น (confidence coefficient)

การประมาณค่าเฉลี่ยของประชากร

1.การประมาณค่าเฉลี่ยของประชากรกลุ่มเดียว
การประมาณค่าเฉลี่ยของประชากรกลุ่มเดียวแบบจุด

Ex.1     จากการสอบถามอายุของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็นดังนี้ 14 , 16 , 14 , 17 , 16 , 14 , 18 , 17 จงประมาณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุนักเรียนกลุ่มนี้
วิธีทำ

ประมาณค่าเฉลี่ย อายุนักเรียนกลุ่มนี้    

การประมาณค่าเฉลี่ยของประชากรกลุ่มเดียวแบบช่วง

ค่าประมาณค่าเฉลี่ย 1 กลุ่มประชากรที่ระดับความเชื่อมั่น    คือ

Ex.2 นักวิจัยผู้หนึ่ง ต้องการศึกษาระยะการตั้งครรภ์ของประชาชนในเขตอำเภอรอบนอกของจังหวัดสุโขทัย จึงทำการสุ่มตัวอย่างมารดาที่มาฝากครรภ์และคลอดบุตรที่โรงพยาบาล จำนวน 100 ราย พบว่ามีค่าเฉลี่ยระยะการตั้งครรภ์เป็น 275 วัน หากทราบว่าโดยทั่วไปทารกจะมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของระยะการตั้งครรภ์เป็น 10 วัน จงประมาณระยะการตั้งครรภ์เฉลี่ยของประชาชนนี้ (กำหนดระดับความเชื่อมั่น 95%)

            

                                   ที่ระดับความเชื่อมั่น 95% ของระยะการตั้งครรภ์เฉลี่ยของประชาชน มีค่าอยู่ระหว่าง 273.04-276.96 (หรือ 274-276 วัน)

บทที่ 8

การทดสอบสมมติฐาน (Hypothesis Testing)

      การทดสอบสมมติฐาน (Hypothesis Testing) เป็นส่วนหน่ึงของสถิติเชิงอนุมาน (Statistical Inference) ซ่ึงเป็นการทดสอบเกี่ยวกับพารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่า โดยสุ่มตัวอย่างจากประชากรแล้ว อาศัยการแจกแจงของตัวสถิติ สร้างสถิติทดสอบเกี่ยวกับพารามิเตอร์น้ันๆ

ศัพท์ที่ควรรู้ในการทดสอบสมมติฐาน 

      ในการทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับพารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่าใดๆ จึงควรรู้จัก ความหมายหรือนิยามของ คำศัพท์ต่างๆ ดังติอไปนี้
         1. สมมติฐาน คือ ความเชื่อหรือคำกล่าวอ้างยืนยันเกี่ยวกับลักษณะของประชากร ซ่ึงอาจมีเพียงประชากรเดียวหรือหลายประชากรก็ได้
         2. สมมติฐานที่จะทดสอบ เรียกว่า สมมติฐานหลัก (Null Hypothesis) เขียนแทนด้วย H₀ สมมติฐานที่แย้งกับสมมติฐานหลัก และนำมาพิจารณาในการทดสอบด้วย เรียกว่า สมมติฐานแย้ง หรือสมมติฐานรอง (Alternative Hypothesis) ซ่ึงแทนด้วย H₁
         3. บริเวณยอมรับ (Acceptance region) คือบริเวณที่ทำให้ เกิดการยอมรับ H₀ ส่วน บริเวณปฏิเสธ (Rejection region) หรือบริเวณวิกฤต (Critical region) คือบริเวณที่ทำให้เกิดการ ปฏิเสธ H₀ 
         4. ผลการตัดสินใจจากการทดสอบสมมติฐาน เน่ืองจากสมมติฐานที่จะทดสอบ ( H₀ ) เป็นความเชื่อ หรือคำยืนยันเกี่ยวกับลักษณะของ ประชากรซื่งยังไม่สามารถบอกได้วาเป็น่จริงหรือเท็จ จนกว่าจะทำการพิสูจน์โดยเก็บรวบรวม ข้อมูลท้ังหมด มาวิเคราะห์ตามลักษณะของประชากรที่ต้องการพิสูจน์น้ัน ซึ่งบางคร้ังการเก็บรวมรวมข้อมูลทั้งหมดจากประชากรเป็นสิ่งที่ทำได้ยากเพราะต้องเสียค่าใช้จ่าย และเวลามาก จึงทำได้เพียงการสำรวจจากตัวอย่าง เพื่อทำการทดสอบเท่าน้ันเอง ดังน้ันผลการตัดสินใจจากการทดสอบ สมมติฐานใดๆ สามารถสรุปได้ ดังตาราง

ตารางผลการตัดสินใจจากการทดสอบสมมติฐาน

การตัดสินใจ	ข้อเท็จจริง
	H0 เป็นจริง	H0 เป็นเท็จ
ปฏิเสธ H0	ความผิดพลาดประเภทที่ 1	ตัดสินใจถูก
ยอมรับ H0	ตัดสินใจถูก	ความผิดพลาดประเภทที่ 2

      ผลการทดสอบไม่ว่าจะยอมรับหรือปฏิเสธสมมติฐานหลัก ย่อมอาจมีความผิดพลาด เกิดขึ้นได้ 2 กรณีเสมอ คือ
         1) การปฏิเสธ H₀ เมื่อ H₀ เป็นจริง เรียกว่า ความผิดพลาดประเภทที่ 1
         2) การยอมรับ H₀ เม่ือ H₀ เป็นเท็จ เรียกว่า ความผิดพลาดประเภทที่ 2
      5. ขนาดของความผิดพลาดประเภทที่1 (Size of a type Ι error) คือ ความน่าจะเป็นที่จะเกิดความผิดพลาดประเภทที่ 1 เขียนแทนด้วย α เราเรียกว่า ระดับนัยสำคัญ (Level of significant ) และขนาดของความผิดพลาดประเภทที่ 2 (Size of a type ΙΙ error) คือ ความน่าจะเป็นที่จะเกิดความผิดพลาดประเภทที่ 2 แทนด้วย β และเรียก 1-β ว่า กำลังของการทดสอบ (Power of the test) ในการทดสอบสมมติฐานผู้ทดสอบต้องพยายามควบคุมความผิดพลาดท้ังสองประเภทให้มีโอกาสเกิดขึ้นน้อยท่ีสุดแต่ขนาดของความผิดพลาดสองประเภทนี้สวนทางกัน กล่าวคือ ถ้า α มีค่ามากแล้ว β จะมีค่าน้อย การควบคุมความผิดพลาดท้ังสองประเภทนี้สามารถลดลงได้ถ้าเพิ่มขนาดตัวอย่างให้มากขึ้น

ประเภทของการทดสอบสมมติฐาน 

      ในการทดสอบสมมติฐานใดๆ เราจะยอมรับว่าสมมติฐานหลักเป็นจริงก่อน จึงทำการสุ่ม ตัวอย่างและคำนวณค่าสถิติที่ได้จากตัวอย่างที่สุ่ม ถัาค่าสถิติที่ใช้ในการทดสอบน้ันแตกต่างจาก พารามิเตอร์ที่กำหนดใน H₀ มากเพียงพอที่จะปฏิเสธ H₀ เราจึงจะปฏิเสธ H₀ หรือกล่าวว่าแตกต่าง อย่างมีนัยสำคัญ เมื่อพิจารณาความแตกต่างดังกล่าว จะพบว่ามี 2 แบบคือ
         1. แตกต่างอย่างมีทิศทาง คือ ค่าพารามิเตอร์ที่แท้จริงมากกว่าค่าพารามิเตอร์ที่กำหนดใน H₀ และอีกกรณีคือ ค่าพารามิเตอร์ที่แท้จริงน้อยกว่าค่าพารามิเตอร์ท่ีกำหนดใน H₀ 
         2. แตกต่างแบบไม่มีทิศทาง คือ ค่าพารามิเตอร์ที่แท้จริงมีค่าไม่เท่ากับค่าพารามิเตอร์ที่กำหนดใน H₀ 
         โดยความแตกต่างท้ัง 2 แบบนี้จะเขียนอยู่ในสมมติฐานแย้ง (H₁ ) ถ้าทดสอบสมมติฐาน แบบมีทิศทางจะเรียกว่าการทดสอบแบบทางเดียว แต่ถ้าทดสอบสมมติฐาน แบบไม่มีทิศทางจะ เรียกว่า การทดสอบแบบสองทาง

         การทดสอบแบบทางเดียว ( One - Tailed Test )

         ให้ θ เป็นพารามิเตอร์ ที่ต้องการทดสอบ และให้ θ ₀ เป็นค่าคงที่ที่ต้องการทดสอบหรือเป็นค่าพารามิเตอร์ท่ีคาดหวังไว้ นั้นเอง สมมติฐานที่จะทดสอบอยู่ในลักษณะ

         1. H₀ : θ = θ ₀ 
             H₁ : θ > θ₀ 

             เมื่อยอมรับว่า H₀ เป็นจริงก่อน บริเวณปฏิเสธ H₀ จะอยู่ปลายหางทางขวา ของการแจกแจงของตัวสถิติที่ใช้ทดสอบ (  )

             
             บริเวณวิกฤตของการทดสอบจะอยู่ด้านขวาและมีค่าเป็นบวก

         2. H₀ : θ = θ₀ 
             H₁ : θ < θ₀ 

เมื่อยอมรับว่า H₀ เป็นจริงก่อน บริเวณปฏิเสธ H₀ จะอยู่ปลายหางด้านซ้าย ของการแจกแจงของตัวสถิติที่ใช้ทดสอบ ( )

             
             บริเวณวิกฤตของการทดสอบจะอยู่ด้านซ้ายและมีค่าเป็นลบ

         การทดสอบแบบทางสองทาง ( Two - Tailed Test )

         ให้ θ เป็นพารามิเตอร์ที่ต้องการทดสอบ และให้ θ< θ₀ เป็นค่าคงที่ที่ต้องการทดสอบหรือเป็นค่าพารามิเตอร์ที่คาดหวังไว้ สมมติฐานที่จะทดสอบจะอยู่ในลักษณะ

         H₀ : θ = θ₀
         H₁ : θ  θ₀ 

เมื่อยอมรับว่า H₀ เป็นจริงก่อน บริเวณปฏิเสธ H₀ จะอยู่ปลายหางทั้งสองข้าง ของการแจกแจงของตัวสถิติที่ใช้ทดสอบ ( )

            
             บริเวณวิกฤตของการทดสอบจะอยู่ด้านซ้ายและขวามีค่าเป็นได้ทั้งบวกและลบ

ขั้นตอนการทดสอบสมมติฐาน 

      ข้ันตอนการทดสอบสมมติฐานทางสถิติมีดังนี้
         1. ต้ังสมมติฐานหลัก (H₀ ) และสมมติฐานทางเลือก (H₁ ) ให้มีความหมายตรงข้ามกันเสมอ
         2. กำหนดระดับนัยสำคัญ α
         3. เลือกตัวสถิติทดสอบท่ีเหมาะสม แล้วหาจุดวิกฤตเพื่อกำหนดบริเวณปฏิเสธ H₀ ให้ สอดคล้องกับ H₀ และ α
         4. คำนวณค่าสถิติที่ใช้ทดสอบจากตัวอย่างขนาด n ที่สุ่มมา
         5. ตัดสินใจยอมรับหรือปฏิเสธ H ₀ โดยพิจารณาจากเงื่อนไขนี้ ถ้าค่าสถิติทดสอบที่คำนวณได้จากข้ันตอนที่ 4 ตกอยู่ในบริเวณยอมรับ เราจะตัดสินใจยอมรับ H ₀ แต่หากตกอยู่บริเวณปฏิเสธ จะตัดสินใจปฏิเสธ H₀ 
         6. สรุปผล