บทที่ 2 การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้นการแจกแจงความถี่เป็นวิธีการจัดเตรียมข้อมูลดิบให้เป็นหมวดหมู่เพื่อความสะดวกในการนำไปวิเคราะห์
ซึ่งสิ่งที่ควรคำนึงถึงในการแจกแจงความถี่การแจกแจงความถี่ทำได้ 2 ดังนี้1) การแจกแจงความถี่ของลักษณะที่สนใจที่เป็นไปได้ทั้งหมด
2) การแจกแจงความถี่สำหลับค่าในแต่ละช่วงของลักษณะที่สนใจการแจกแจงความถี่ของลักษณะที่สนใจที่เป็นไปได้ทั้งหมด
การแจงแจกความถี่แบบนี้จะใช้กับข้อมูลที่จำนวนลักษณะที่เป็นไปได้ทั้งหมดมีไม่มากนัก
เช่น จำแนกตามเพศ คือ เพศหญิง ชาย จำแนกตามความคิดเห็น เห็นด้วย ไม่เห็นด้วย ตัวอย่างที่ 2.1 จากการสำรวจคนไข้ที่เข้ามารับการรักษาที่โรงพยาบาลแห่งหนึ่งในเดือนมกราคม 2549 โดยแจกแจงความถี่ (จำนวนคนไข้)ตามเพศ ได้ดังนี้
การแจกแจงความถี่สำหรับค่าในแต่ละช่วงของลักษณะที่สนใจ
ในกรณีที่ค่าของข้อมูลที่เป็นไปได้ทั้งหมดของลักษณะที่สนใจมีจำนวนมากตัวอย่าง 2.2 ถ้าเลือกชายมา 100 คนสอบถามความสูงแล้วจัดทำเป็นช่วงๆได้5ช่วงหรือ 5 ช่วง ดังนี้
ช่วงจำนวนของแต่ละชั้น เช่น 135-144,145-154,…,175-184 เรียกว่าขีดจำกัดชั้นค่าต่ำสุดของแต่ละชั้น เช่น 135-145,…,175
เรียกว่าขีดจำกัดล่างและค่าสูงสุดของแต่ละชั้น เช่น 144,154,…,184
เรียกว่าขีดจำกัดบน
โดยทั่วไปจะกำหมดค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของแต่ละชั้นให้มีทศนิยมมากกว่าของข้อมูลดังนี้ตัวอย่าง 2.2. ถ้านักศึกษาชายคนหนึ่งสูง 144.5 เซนติเมตร
ก็ไม่สามารถจัดให้นักศึกษาอยู่ในชั้นใดได้
นอกจากนั้นการกำหมดให้มีจำนวนหลังจุดทศนิยมมากกว่าค่าของของข้อมูลทำให้ข้อมูลทั้งหมดต่อเนื่องกัน
และเรียกช่วงในแต่ละชั้นว่า ขอบเขตจำกัดดังนั้นจากตัวอย่างที่ 2.2 ขอบเขตจำกัดชั้นสามารถกำหมดได้ ดังนี้
ค่าต่ำสุดของแต่ละชั้นคือ 134.5,144.5,…,174.5 เรียกว่าขอบเขตจำกัดล่างและค่าสูงสุดของแต่ชั้นคือ 144.5,154.5,….,1184.5 ว่าขอบเขยจำกัดบนและความกว้างของชั้นคือ 144.5-134.5=10
ตารางแจกแจงความถี่เป็นตารางที่อ่านเข้าง่าย
แต่ก็มีการเสียรายละเอียดบางอย่างเกี่ยวข้อมูล เช่นมีนักศึกษาที่มีความสูงในช่วง 144.5-
154.5 เซนติเมตร อยู่ 18คน
แต่จะไม่ทราบว่านักศึกษา 18 คน
คนนี้มีส่วนสูงจริงๆ เท่าไหร่อาจจะเท่ากันหมดคือ 145 เซนติเมตรก็ได้ ปัญหานี้อาจแก้ไขด้ายโดยลดความกว้างของชั้นให้แคบลง
ผูสร้างตารางแจกแจงความถี่จะต้องคำนึงถึงความเหมาสมในการกำหมดความกว้างของชั้นด้วย
1). หาค่าพิสัยของข้อมูลโดยที่ค่าพิสัย(Range)คือผลต่างระหว่างข้อมูลที่มีค่ามากที่สุดกับข้อมูลที่มีค่าน้อยที่สุดดังนั้น
ถ้ามีข้อมูล N ค่า คือ X1 ,X2,...XNและให้ Xmax = ค่าสูงสุดของข้อมูล = max(X1 ,X2,...XN) Xmin = ค่าต่ำสุดของข้อมูล = min (X1 ,X2,...XN)ดังนั้น พิสัย = R = Xmax - Xmin 2)กำหมดจำนวนชั้น (k) โดยกำหนดจำนวนชั้นเป็น 5-20 ชั้น ถ้าข้อมูลมีการกระจายมากและมีจำนวนข้อมูลไม่มากควรให้มีจำนวนชั้นน้อยๆ เพื่อป้องกันไม่ให้มีชั้นที่มีชั้นที่มีค่าความถี่เป็นศูนย์ เนื่องจากไม่มีข้อมูลค่าใดที่ตกอยู่ในชั้นๆเลยในกรณีนี้ที่สร้างไม่ทราบว่าควรกำหมดให้ตารางแจกแจงความถี่มีกี่ชั้นส่ามารถใช้สูตรในการคำนวณชั้นได้ ด้งนี้
ถ้าค่า I เป็นเลขไม่ลงตัว
จะปัดให้เป็นจำนวนเต็ม(ไม่ว่าเศษจะมีค่าต่ำกว่าหรือมากกว่า 0.5)โดยทั่วไปมักกำหมดให้ความกว้างของแต่ละชั้นเท่ากันหมด
แต่ละในทางปฏิบัติบางครั้งอาจจะให้ความกว้างของแต่ละชั้นไม่เท่ากัน
หรืออาจกำหมดให้เป็นชั้นเปิดก็ได้หรืออาจจะกำหมดให้ความกว้างของชั้นเป็นค่าที่ทำให้ค่ากึ่งกลางชั้น
มีค่าเท่ากับจริงของข้อมูล
โดยจะกำหมดให้ขีดจำกัดล่างของชั้นแรก
(ชั้นที่มีค่าต่ำสุด) ครอบคลุมข้อมูลที่มีค่าต่ำสุดและให้ขีดจำกัดบนของชั้นสุดท้าย
(ชั้นที่มีค่าสูงสุด)ครอบคลุมข้อมูลที่มีค่าสูงสุด หรืออาจใช้สูตรต่อไปนี้
5).คำนวณหาขอบเขตจำกัดชั้น (Class
Boundaries)
การหาขอบเขตชั้นนั้นจะกำหนดให้ขอบเขตชั้นมีจำนวนหลักหลังจุดทศนิยมมากกว่าของข้อมูลจริงอยู่ 1 หลักเสมอ เช่น ถ้าข้อมูลจริงเป็นเลขจำนวนเต็ม
ขอบเขตจำกัดชั้นจะมีจำนวนจุดทศนิยม 1 หลัก
ในทางปฏิบัติ เราสามารถหาค่าขอบเขตชั้นได้ ดังนี้
6). นับจำนวนค่าของข้อมูล (ความถี่) ในแต่ละชั้น หลังจากสร้างขอบเขตจำกัดชั้นแล้ว จึงตรวจสอบว่าข้อมูลค่าใดอยู่ในชั้นได้บ้าง แล้วนับจำนวนข้อมูลในแต่ละชั้นเรียกว่า ความถี่ของชั้น • เมื่อต้องการตรวจสอบความผิดปกติ โดยดูการกระจายของกระบวนการทำงาน • เมื่อต้องการเปรียบเทียบข้อมูลกับเกณฑ์ที่กำหนด หรือค่าสูงสุด-ต่ำสุด • เมื่อต้องการตรวจสอบสมรรถนะของกระบวนการทำงาน (Process Capability) • เมื่อต้องการวิเคราะห์หาสาเหตุรากเหง้าของปัญหา (Root Cause) • เมื่อต้องการติดตามการเปลี่ยนแปลงของกระบวนการในระยะยาว • เมื่อข้อมูลมีจำนวนมากๆ • เก็บรวบรวมข้อมูล (ควรรวบรวมประมาณ 100 ข้อมูล) • หาค่าสูงสุด (L) และค่าต่ำสุด (S) ของข้อมูลทั้งหมด • หาค่าพิสัยของข้อมูล (R-Range) • สร้างกราฟฮิสโตแกรม • แบบปกติ (Normal Distribution)
โพลีกอนหรือความถี่โพลีกอน (Frequency Polygon) เป็นการนำเสนอข้อมูลให้เห็นเด่นชัดยิ่งขึ้น ซึ่งแสดงผลโดยลากเส้นตรงเชื่อมต่อระหว่างค่ากึ่งกลางชั้นของฮีสโตแกรม แต่จะต้องเพิ่มในฮีสโตแกรมอีกสองชั้น คือ ชั้นต่ำสุด และชั้นสูงสุด โดยชั้นที่เพิ่มอีก 2 ชั้นมีค่าความถี่เป็นศูนย์
จากตารางแจกแจงความถี่ จะได้ความถี่สัมพัทธ์ของชั้นใดชั้นหนึ่งหมายถึงความถี่ของชั้นนั้นหารด้วยความถี่ทั้งหมด ส่วนมากนิยมเสนอด้วยเปอร์เซนต์โดยการนำผลหารขเางต้นคูณด้วย 100 และผลบวกของความถี่สัมพัทธ์ของทุกชั้นจะเท่ากับ 1
145 158 157 160 160 143 161 163
147 139
1. เลือกเอาตัวเลขหลักที่ซ้ำมาทำเป็น “ต้น” ในตัวอย่างนี้จะได้สองหลักซ้ายมือ
2. นำเลขที่เหลือ ของข้อมูลแต่ละตัว มาเขียนลงไปในช่อง “ใบ” (เช่น 150 ก็แยก 15
เป็น “ต้น” และ 0
เป็น “ใบ”)
3. ควรเรียงลำดับจากน้อยไปมาก เพื่อให้สะดวกต่อการวิเคราะห์
สมมติเราต้องการจะเปรียบเทียบชุดข้อมูล 2 กลุ่ม
ก็สามารถทำ ได้ ตัวอย่างเช่น
ความสูงของนักเรียนห้องป.6/1 และ ป.6/2 เป็นดังนี้
150 131 166 136 136 134 144
145 149 140
145 158 157 160 160 143 161 163
147 139ป. 6/2
162 163 163 172 157 156 154
165 161 172
160 148 144 160 175 190 169 155
157 176
1) นักเรียนชั้นป.6/1 ส่วนใหญ่มีความสูงอยู่ในช่วง 150-159
ซม. ในขณะที่นักเรียนชั้นป.6/2 ส่วนใหญ่มีความสูงอยู่ระหว่าง
140-149 ซม.
2) นักเรียนคนที่เตี้ยที่สุดอยู่ชั้นป.6/2 สูง 131
ซม.ส่วนนักเรียนที่สูงที่สุดอยู่ชั้นป.6/1 สูง
190 ซม.
3) ชั้นป.6/1 มีนักเรียนที่สูงผิดปกติ 1 คน
4) ความสูงเฉลี่ยชั้นป.6/1 น่าจะมากกว่าชั้นป.6/2
การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางเป็นระเบียบวิธีทางสถิติในการหาค่าเพียงค่าเดียวที่จะใช้เป็นตัวแทนของข้อมูลทั้งชุด
ค่าที่หาได้นี้จะทำให้สามารถทราบถึงลักษณะของข้อมูลทั้งหมดที่เก็บรวบรวมมาได้
ค่าที่หาได้นี้จะเป็นค่ากลาง ๆ เรียกว่า ค่ากลาง
ประเภทของการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง
การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางมีอยู่หลายวิธีด้วยกัน
เมื่อ (เอ็กซ์บาร์)
คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
คือ
ผลบวกของข้อมูลทุกค่า
คือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด
การหารค่ามัธยฐาน สามารถหาได้ 2 วิธี
1. การหามัธยฐานของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
ซึ่งมีวิธีหาได้ดังนี้
1.1 เรียงข้อมูลจากน้อิยไปมาก หรือจากมากไปน้อย
1.2 หาตำแหน่งของมัธยฐาน จาก
เมื่อ
= จำนวนข้อมูลทั้งหมด
คำนวณได้่จากสูตร
i = ความกว้างของอันตรภาคชั้น
= ความถี่สะสมชั้นที่อยู่ก่อนชั้นที่มีมัธยฐานไปหาคะแนนน้อย
=
ความถี่ของคะแนนในชั้นที่มีมัธยฐาน
คือตำแหน่งมัธยฐาน
การหารค่าฐานนิยม สามารถหาได้ 2 วิธี
พิจารณาค่าของข้อมูลที่ซ้ำกันมากที่สุด
คือฐานนิยม
คำนวณได้จากสูตร
เมื่อ Mo = ฐานนิยม (Mode) L = ขีดจำกัดล่างของคะแนนในชั้นที่มีความถี่สูงสุด i = ความกว้างอันตรภาคชั้น
= ผลต่างของความถี่มากที่สุดกับความถี่ของชั้นก่อนหน้า
= ผลต่างของความถี่มากที่สุดกับความถี่ของชั้นที่ถัดไปทางคะแนนมาก 2.2 ขั้นตอนการสร้างตารางแจกแจงความถี่ขั้นตอนการสร้างตารางแจกแจงความถี่การสร้างตารางแจกแจงความถี่มีขั้นตอน ดังนี้ 3).คำนวณหาความกว้างของชั้นหรืออันตรภาคชั้น (Class
Interval: I) 4).คำนวณหาขีดจำกัดชั้นแล้วปัดให้มีลักษณะเหมือนข้อมูลจริง เช่น
ข้อมูลมีจำนวนหลักหลังจุดทศนิยมสองหลักจะปิดเศษให้ขีดจำกัดชั้นเป็นเลขที่มีจำนวนจุดทศนิยมสอง 2 เช่นกัน
2.3 ฮิสโตแกรม (Histogram)ฮิสโตแกรม (Histogram) กราฟแท่งแบบเฉพาะ โดยแกนตั้งจะเป็นตัวเลขแสดง “ ความถี่ ” และมีแกนนอนเป็นข้อมูลของคุณสมบัติของสิ่งที่เราสนใจ โดยเรียงลำดับจากน้อย ที่ใช้ดูความแปรปรวนของกระบวนการ โดยการสังเกตรูปร่างของฮิสโตแกรมที่สร้างขึ้นจากข้อมูลที่ได้มาโดยการสุ่มตัวอย่างมีประโยชน์ในการที่จะทำให้ทราบถึงการแจกแจงของสิ่งที่เราต้องการวิเคราะห์ ประโยชน์ประการสำคัญของการใช้ฮีสโตแกรม คือการใช้เพื่อวิเคราะห์ความถี่ของข้อมูลแล้วตัดสินใจว่า การแจกแจงหรือการกระจายข้อมูลแบบใด เพื่อใช้ตรวจสอบคุณสมบัติของข้อมูล ตลอดจนการประมาณการลักษณะคุณภาพที่ได้จากการผลิตแผนภูมิฮิสโตแกรม แผนภูมินี้จะชี้ให้เห็นถึงความเบี่ยงเบนของข้อมูลว่ามีลักษณะการกระจายตัวของข้อมูลเป็นแบบระฆังคว่ำ (Normal Distribution) หรือไม่ หรือมีความเบี่ยงเบนไปทางบวกหรือลบ หรือมีลักษณะรูปแบบแบบฟันเลื่อย หรือแบบหน้าผา เป็นต้น ทำให้มองเห็นว่าความเบี่ยงเบนที่เกิดขึ้นจาก Normal Distribution ควรจะแก้ไขอย่างไรเมื่อไรจึงจะใช้แผนภาพฮิสโตแกรมวิธีการเขียนฮิสโตแกรม (Histogram) สูตร R = L - S • หาค่าจำนวนชั้น (K) สูตร K = Square root of (n) โดย n คือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด • หาค่าความกว้างช่วงชั้น (H-Class interval) สูตร H = R/K หรือ พิสัย / จำนวนชั้น • หาขอบเขตของชั้น (Boundary Value) ขีดจำกัดล่างของชั้นแรก = S – หน่วยของการวัด / 2 ขีดจำกัดบนของชั้นแรก = ขีดจำกัดล่างชั้นแรก + H • หาขีดจำกัดล่างและขีดจำกัดบนของชั้นถัดไป • หาค่ากึ่งกลางของแต่ละชั้น (Median of class interval) ค่ากึ่งกลางชั้นแรก = ผลรวมค่าขีดจำกัดชั้นแรก / 2 ค่ากึ่งกลางชั้นสอง = ผลรวมค่าขีดจำกัดชั้นสอง / 2 • บันทึกข้อมูลในรูปตารางแสดงความถี่ลักษณะต่างๆ ของฮิสโตแกรม
การกระจายของการผลิตเป็นไปตามปกติ ค่าเฉลี่ยส่วนใหญ่จะอยู่ตรงกลาง• แบบแยกเป็นเกาะ (Detached Island Type) พบเมื่อกระบวนการผลิตขาดการปรับปรุง/หรือการผลิตไม่ได้ผล• แบบระฆังคู่ (Double Hump Type) พบเมื่อนำผลิตภัณฑ์ของเครื่องจักร 2 เครื่อง / 2 แบบมารวมกัน• แบบฟันปลา (Serrated Type) พบเมื่อเครื่องมือวัดมีคุณภาพต่ำ หรือการอ่านค่ามีความแตกต่างกันไป• แบบหน้าผา (Cliff Type) พบเมื่อมีการตรวจสอบแบบ Total Inspection เพื่อคัดของเสียออกไป2.4. โพลิกอนโพลีกอน (Polygon)2.5 การแจกแจงความถี่สัมพัทธ์ (Relative Frequency Distribution)การแจกแจงความถี่สัมพัทธ์ (Relative Frequency Distribution)ความถี่สัมพัทธ์ที่ได้นิยมเขียนให้อยู่ในรูปทศนิยม หรือ ร้อยละตัวอย่างที่ 8 จากตารางแจกแจงความถี่ที่กาหนดให้ หาค่าความถี่สัมพัทธ์ได้ดังนี้ความหมายจากตาราง ความถี่สัมพัทธ์ของอันตรภาคชั้นใด เป็นการบอกให้ทราบว่าอันตรภาคชั้นนั้น มีจำนวนมากน้อยเพียงใดเมื่อเทียบกับผลรวมของความถี่ทั้งหมด แต่เพื่อความเข้าใจได้ง่ายๆ จึงนิยมเขียนเป็นร้อยละ เรียกว่า “ร้อยละของความถี่สัมพัทธ์”เช่น อันตรภาคชั้น 10 - 14 มีร้อยละของความถี่สัมพัทธ์เท่ากับ 10.00 แสดงว่า อันตรภาคชั้น 10 -14 มีจานวนคิดเป็นร้อยละ 10.00 ของจานวนข้อมูลทั้งหมดอันตรภาคชั้น 20 - 24 เป็นอันตรภาคชั้นที่มีข้อมูลอยู่ในช่วงนี้มากที่สุด คิดเป็นร้อยละ 40.00 ส่วนอันตรภาคชั้น 10 - 14 เป็นอันตรภาคชั้นที่มีข้อมูลอยู่ในช่วงนี้น้อยที่สุด คิดเป็นร้อยละ 10.00หมายเหตุ 1. การปัดเศษในวิชาสถิติ แตกต่างกับการปัดเศษโดยทั่วๆไป กล่าวคือ ถ้าตัวที่จะปัดเป็น 5 โดยทั่วไปจะปัดขึ้นแต่สำหรับวิชาสถิติ ต้องดูตัวเลขที่อยู่ข้างหน้า ถ้าเป็นเลขคู่ คือ 0, 2, 4, 6, 8 จะปัด 5 ทิ้ง แต่ถ้าตัวเลขที่อยู่ข้างหน้าเป็นเลขคี่ คือ 1, 3, 5, 7, 9 จะปัดขึ้นเป็นหนึ่ง เช่น12345/100,000=0.12345 ถ้าต้องการทศนิยม 4 ตาแหน่งจะได้ 0.123412375/100,000=0.12375 ถ้าต้องการทศนิยม 4 ตาแหน่งจะได้ 0.1238 2. ผลรวมของความถี่สัมพัทธ์ มีค่าเท่ากับ 1 เสมอ ส่วนผลรวมของร้อยละของความถี่สัมพัทธ์เท่ากับ 100 เสมอ 2.6 การแจกแจงความถี่สะสมการแจกแจงความถี่สะสม ความถี่สะสม (Cumulative Frequency) ของอันตรภาคชั้นใด คือ ผลรวมความถี่ตั้งแต่อันตรภาคชั้นช่วงคะแนนต่าสุดถึงอันตรภาคชั้นนั้นตัวอย่าง จากตารางแจกแจงความถี่ต่อไปนี้ จงหาความถี่สะสมจากตารางแจกแจงความถี่ข้างต้น อันตรภาคชั้นที่ 3 มีความถี่สะสม 20 แสดงว่าข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่า 64.5 มีอยู่ 20 จำนวนอันตรภาคชั้นที่ 4 มีความถี่สะสม 30 แสดงว่าข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่า 69.5 มีอยู่ 30 จำนวนอันตรภาคชั้นที่ 5 มีความถี่สะสม 36 แสดงว่าข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่า 74.5 มีอยู่ 36 จำนวนอันตรภาคชั้นที่ 6 มีความถี่สะสม 40 แสดงว่าข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่า80.5 มีอยู่ 40 จำนวนข้อสังเกต1. ค่าความถี่สะสมหาได้จากการบอกความถี่จากอันตรภาคชั้นที่คะแนนมีค่าน้อยไปสู่ชั้นที่มีค่ามาก2. ความถี่สะสมของอันตรภาคชั้นสุดท้าย คือ จานวนข้อมูลทั้งหมดนั่นเอง3. ค่าความถี่สะสมของอันตรภาคชั้นใดบอกให้ทราบว่า มีจานวนข้อมูลเท่าใดที่มีค่าน้อยกว่าขอบบนของชั้นนั้น4. ค่าความถี่ของอันตรภาคชั้นใด บอกให้ทราบว่า มีจานวนข้อมูลเท่าใดที่มีค่าอยู่ในอันตรภาคชั้นนั้น แผนภาพต้น-ใบ (Stem-and-Leaf Diagram) ใช้เพื่อจัดข้อมูลเป็นกลุ่มๆ และข้อมูลทุกตัวจะถูกแสดงในแผนภาพ ไม่เพียงแค่นับรวมว่าเป็นความถี่ในอันตรภาคชั้นเดียวกันเหมือนกับฮิสโตแกรม สมมติเรามีข้อมูลส่วนสูง(ซม.)ของนักเรียนชั้นป.6 จำนวน 20 คน ดังนี้
xx
เพศ
|
จำนวนคนไข้
|
ชาย
|
389
|
หญิง
|
311
|
รวม
|
700
|
ความสูงของนักศึกษาชาย
(เซนติเมตร)
|
จำนวนคนไข้
|
135-144
|
5
|
145-154
|
21
|
155-164
|
39
|
165-174
|
24
|
175-184
|
11
|
รวม
|
100
|
ขอบเขตจำกัดชั้นสูงนักศึกษาชาย
(เซนติเมตร)
|
จำนวนคน
|
134.5-144.5
|
5
|
144.5-154.5
|
21
|
154.5-164.5
|
39
|
164.5-174.5
|
24
|
174.5-184.5
|
11
|
รวม
|
100
|
พิสัย = ค่าสูงสุด – ค่าต่ำสุด
|
ถ้ามีข้อมูล N ค่า คือ X1 ,X2,...XNและให้ Xmax = ค่าสูงสุดของข้อมูล = max(X1 ,X2,...XN) Xmin = ค่าต่ำสุดของข้อมูล = min (X1 ,X2,...XN)ดังนั้น พิสัย = R = Xmax - Xmin 2)กำหมดจำนวนชั้น (k) โดยกำหนดจำนวนชั้นเป็น 5-20 ชั้น ถ้าข้อมูลมีการกระจายมากและมีจำนวนข้อมูลไม่มากควรให้มีจำนวนชั้นน้อยๆ เพื่อป้องกันไม่ให้มีชั้นที่มีชั้นที่มีค่าความถี่เป็นศูนย์ เนื่องจากไม่มีข้อมูลค่าใดที่ตกอยู่ในชั้นๆเลยในกรณีนี้ที่สร้างไม่ทราบว่าควรกำหมดให้ตารางแจกแจงความถี่มีกี่ชั้นส่ามารถใช้สูตรในการคำนวณชั้นได้ ด้งนี้
K = 1+ 3.3 log N
|
I = ความกว้างของชั้น
(อันตรภาคชั้น) = พิสัย
จำนวนชั้น =R/k
|
ค่ากึ่งกลางชั้น = (ขอบเขตกำจัดบน + ขอบเขตจำกัดล่าง )/2 = (ขีดจำกัดบน + ขีดจำกัดล่าง )/2
|
ขีดจำกัดล่างของชั้นแรก = ค่าต่ำ – (Ik - R)/2
|
ขอบเขตจำกัดชั้น = (ขีดจำกัดบนของชั้น + ขีดจำกัดล่างของชั้นถัดไป)/2 |
6). นับจำนวนค่าของข้อมูล (ความถี่) ในแต่ละชั้น หลังจากสร้างขอบเขตจำกัดชั้นแล้ว จึงตรวจสอบว่าข้อมูลค่าใดอยู่ในชั้นได้บ้าง แล้วนับจำนวนข้อมูลในแต่ละชั้นเรียกว่า ความถี่ของชั้น • เมื่อต้องการตรวจสอบความผิดปกติ โดยดูการกระจายของกระบวนการทำงาน • เมื่อต้องการเปรียบเทียบข้อมูลกับเกณฑ์ที่กำหนด หรือค่าสูงสุด-ต่ำสุด • เมื่อต้องการตรวจสอบสมรรถนะของกระบวนการทำงาน (Process Capability) • เมื่อต้องการวิเคราะห์หาสาเหตุรากเหง้าของปัญหา (Root Cause) • เมื่อต้องการติดตามการเปลี่ยนแปลงของกระบวนการในระยะยาว • เมื่อข้อมูลมีจำนวนมากๆ • เก็บรวบรวมข้อมูล (ควรรวบรวมประมาณ 100 ข้อมูล) • หาค่าสูงสุด (L) และค่าต่ำสุด (S) ของข้อมูลทั้งหมด • หาค่าพิสัยของข้อมูล (R-Range) • สร้างกราฟฮิสโตแกรม • แบบปกติ (Normal Distribution)
โพลีกอนหรือความถี่โพลีกอน (Frequency Polygon) เป็นการนำเสนอข้อมูลให้เห็นเด่นชัดยิ่งขึ้น ซึ่งแสดงผลโดยลากเส้นตรงเชื่อมต่อระหว่างค่ากึ่งกลางชั้นของฮีสโตแกรม แต่จะต้องเพิ่มในฮีสโตแกรมอีกสองชั้น คือ ชั้นต่ำสุด และชั้นสูงสุด โดยชั้นที่เพิ่มอีก 2 ชั้นมีค่าความถี่เป็นศูนย์
จากตารางแจกแจงความถี่ จะได้ความถี่สัมพัทธ์ของชั้นใดชั้นหนึ่งหมายถึงความถี่ของชั้นนั้นหารด้วยความถี่ทั้งหมด ส่วนมากนิยมเสนอด้วยเปอร์เซนต์โดยการนำผลหารขเางต้นคูณด้วย 100 และผลบวกของความถี่สัมพัทธ์ของทุกชั้นจะเท่ากับ 1
อันตรภาคชั้น
|
ความถี่
|
ความถี่สัมพัทธ์
|
ร้อยละความถี่สัมพัทธ์
|
10 - 14
|
3
|
3/30=0.1000
|
3/30x100=10.00
|
15 - 19
|
5
|
5/30=0.1667
|
5/30x100=16.67
|
20 - 24
|
12
|
12/30=0 4000
|
12/30x100= 40.00
|
25 - 29
|
10
|
10/30=0 3333
|
10/30x100=33.33
|
รวม
|
30
|
1.0000
|
100
|
อันตรภาคชั้น
|
ความถี่
|
ความถี่สะสม
|
50 - 54
|
3
|
3
|
55 - 59
|
5
|
8
|
60 - 64
|
12
|
20
|
65 - 69
|
10
|
30
|
70 - 74
|
6
|
36
|
75 - 80
|
4
|
40
|
เมื่อ
(เอ็กซ์บาร์)
คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
คือ
ผลบวกของข้อมูลทุกค่า
คือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด
การหารค่ามัธยฐาน สามารถหาได้ 2 วิธี
1. การหามัธยฐานของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
ซึ่งมีวิธีหาได้ดังนี้
1.1 เรียงข้อมูลจากน้อิยไปมาก หรือจากมากไปน้อย
1.2 หาตำแหน่งของมัธยฐาน จาก เมื่อ
= จำนวนข้อมูลทั้งหมด
คำนวณได้่จากสูตร i = ความกว้างของอันตรภาคชั้น
= ความถี่สะสมชั้นที่อยู่ก่อนชั้นที่มีมัธยฐานไปหาคะแนนน้อย
=
ความถี่ของคะแนนในชั้นที่มีมัธยฐาน
คือตำแหน่งมัธยฐาน
การหารค่าฐานนิยม สามารถหาได้ 2 วิธี
พิจารณาค่าของข้อมูลที่ซ้ำกันมากที่สุด
คือฐานนิยม
คำนวณได้จากสูตร เมื่อ Mo = ฐานนิยม (Mode) L = ขีดจำกัดล่างของคะแนนในชั้นที่มีความถี่สูงสุด i = ความกว้างอันตรภาคชั้น
= ผลต่างของความถี่มากที่สุดกับความถี่ของชั้นก่อนหน้า
= ผลต่างของความถี่มากที่สุดกับความถี่ของชั้นที่ถัดไปทางคะแนนมาก 2.2 ขั้นตอนการสร้างตารางแจกแจงความถี่ขั้นตอนการสร้างตารางแจกแจงความถี่การสร้างตารางแจกแจงความถี่มีขั้นตอน ดังนี้ 3).คำนวณหาความกว้างของชั้นหรืออันตรภาคชั้น (Class
Interval: I) 4).คำนวณหาขีดจำกัดชั้นแล้วปัดให้มีลักษณะเหมือนข้อมูลจริง เช่น
ข้อมูลมีจำนวนหลักหลังจุดทศนิยมสองหลักจะปิดเศษให้ขีดจำกัดชั้นเป็นเลขที่มีจำนวนจุดทศนิยมสอง 2 เช่นกัน2.3 ฮิสโตแกรม (Histogram)ฮิสโตแกรม (Histogram) กราฟแท่งแบบเฉพาะ โดยแกนตั้งจะเป็นตัวเลขแสดง “ ความถี่ ” และมีแกนนอนเป็นข้อมูลของคุณสมบัติของสิ่งที่เราสนใจ โดยเรียงลำดับจากน้อย ที่ใช้ดูความแปรปรวนของกระบวนการ โดยการสังเกตรูปร่างของฮิสโตแกรมที่สร้างขึ้นจากข้อมูลที่ได้มาโดยการสุ่มตัวอย่างมีประโยชน์ในการที่จะทำให้ทราบถึงการแจกแจงของสิ่งที่เราต้องการวิเคราะห์ ประโยชน์ประการสำคัญของการใช้ฮีสโตแกรม คือการใช้เพื่อวิเคราะห์ความถี่ของข้อมูลแล้วตัดสินใจว่า การแจกแจงหรือการกระจายข้อมูลแบบใด เพื่อใช้ตรวจสอบคุณสมบัติของข้อมูล ตลอดจนการประมาณการลักษณะคุณภาพที่ได้จากการผลิตแผนภูมิฮิสโตแกรม แผนภูมินี้จะชี้ให้เห็นถึงความเบี่ยงเบนของข้อมูลว่ามีลักษณะการกระจายตัวของข้อมูลเป็นแบบระฆังคว่ำ (Normal Distribution) หรือไม่ หรือมีความเบี่ยงเบนไปทางบวกหรือลบ หรือมีลักษณะรูปแบบแบบฟันเลื่อย หรือแบบหน้าผา เป็นต้น ทำให้มองเห็นว่าความเบี่ยงเบนที่เกิดขึ้นจาก Normal Distribution ควรจะแก้ไขอย่างไรเมื่อไรจึงจะใช้แผนภาพฮิสโตแกรมวิธีการเขียนฮิสโตแกรม (Histogram) สูตร R = L - S • หาค่าจำนวนชั้น (K) สูตร K = Square root of (n) โดย n คือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด • หาค่าความกว้างช่วงชั้น (H-Class interval) สูตร H = R/K หรือ พิสัย / จำนวนชั้น • หาขอบเขตของชั้น (Boundary Value) ขีดจำกัดล่างของชั้นแรก = S – หน่วยของการวัด / 2 ขีดจำกัดบนของชั้นแรก = ขีดจำกัดล่างชั้นแรก + H • หาขีดจำกัดล่างและขีดจำกัดบนของชั้นถัดไป • หาค่ากึ่งกลางของแต่ละชั้น (Median of class interval) ค่ากึ่งกลางชั้นแรก = ผลรวมค่าขีดจำกัดชั้นแรก / 2 ค่ากึ่งกลางชั้นสอง = ผลรวมค่าขีดจำกัดชั้นสอง / 2 • บันทึกข้อมูลในรูปตารางแสดงความถี่ลักษณะต่างๆ ของฮิสโตแกรม
การกระจายของการผลิตเป็นไปตามปกติ ค่าเฉลี่ยส่วนใหญ่จะอยู่ตรงกลาง• แบบแยกเป็นเกาะ (Detached Island Type) พบเมื่อกระบวนการผลิตขาดการปรับปรุง/หรือการผลิตไม่ได้ผล• แบบระฆังคู่ (Double Hump Type) พบเมื่อนำผลิตภัณฑ์ของเครื่องจักร 2 เครื่อง / 2 แบบมารวมกัน• แบบฟันปลา (Serrated Type) พบเมื่อเครื่องมือวัดมีคุณภาพต่ำ หรือการอ่านค่ามีความแตกต่างกันไป• แบบหน้าผา (Cliff Type) พบเมื่อมีการตรวจสอบแบบ Total Inspection เพื่อคัดของเสียออกไป2.4. โพลิกอนโพลีกอน (Polygon)2.5 การแจกแจงความถี่สัมพัทธ์ (Relative Frequency Distribution)การแจกแจงความถี่สัมพัทธ์ (Relative Frequency Distribution)ความถี่สัมพัทธ์ที่ได้นิยมเขียนให้อยู่ในรูปทศนิยม หรือ ร้อยละตัวอย่างที่ 8 จากตารางแจกแจงความถี่ที่กาหนดให้ หาค่าความถี่สัมพัทธ์ได้ดังนี้ความหมายจากตาราง ความถี่สัมพัทธ์ของอันตรภาคชั้นใด เป็นการบอกให้ทราบว่าอันตรภาคชั้นนั้น มีจำนวนมากน้อยเพียงใดเมื่อเทียบกับผลรวมของความถี่ทั้งหมด แต่เพื่อความเข้าใจได้ง่ายๆ จึงนิยมเขียนเป็นร้อยละ เรียกว่า “ร้อยละของความถี่สัมพัทธ์”เช่น อันตรภาคชั้น 10 - 14 มีร้อยละของความถี่สัมพัทธ์เท่ากับ 10.00 แสดงว่า อันตรภาคชั้น 10 -14 มีจานวนคิดเป็นร้อยละ 10.00 ของจานวนข้อมูลทั้งหมดอันตรภาคชั้น 20 - 24 เป็นอันตรภาคชั้นที่มีข้อมูลอยู่ในช่วงนี้มากที่สุด คิดเป็นร้อยละ 40.00 ส่วนอันตรภาคชั้น 10 - 14 เป็นอันตรภาคชั้นที่มีข้อมูลอยู่ในช่วงนี้น้อยที่สุด คิดเป็นร้อยละ 10.00หมายเหตุ 1. การปัดเศษในวิชาสถิติ แตกต่างกับการปัดเศษโดยทั่วๆไป กล่าวคือ ถ้าตัวที่จะปัดเป็น 5 โดยทั่วไปจะปัดขึ้นแต่สำหรับวิชาสถิติ ต้องดูตัวเลขที่อยู่ข้างหน้า ถ้าเป็นเลขคู่ คือ 0, 2, 4, 6, 8 จะปัด 5 ทิ้ง แต่ถ้าตัวเลขที่อยู่ข้างหน้าเป็นเลขคี่ คือ 1, 3, 5, 7, 9 จะปัดขึ้นเป็นหนึ่ง เช่น12345/100,000=0.12345 ถ้าต้องการทศนิยม 4 ตาแหน่งจะได้ 0.123412375/100,000=0.12375 ถ้าต้องการทศนิยม 4 ตาแหน่งจะได้ 0.1238 2. ผลรวมของความถี่สัมพัทธ์ มีค่าเท่ากับ 1 เสมอ ส่วนผลรวมของร้อยละของความถี่สัมพัทธ์เท่ากับ 100 เสมอ 2.6 การแจกแจงความถี่สะสมการแจกแจงความถี่สะสม ความถี่สะสม (Cumulative Frequency) ของอันตรภาคชั้นใด คือ ผลรวมความถี่ตั้งแต่อันตรภาคชั้นช่วงคะแนนต่าสุดถึงอันตรภาคชั้นนั้นตัวอย่าง จากตารางแจกแจงความถี่ต่อไปนี้ จงหาความถี่สะสมจากตารางแจกแจงความถี่ข้างต้น อันตรภาคชั้นที่ 3 มีความถี่สะสม 20 แสดงว่าข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่า 64.5 มีอยู่ 20 จำนวนอันตรภาคชั้นที่ 4 มีความถี่สะสม 30 แสดงว่าข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่า 69.5 มีอยู่ 30 จำนวนอันตรภาคชั้นที่ 5 มีความถี่สะสม 36 แสดงว่าข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่า 74.5 มีอยู่ 36 จำนวนอันตรภาคชั้นที่ 6 มีความถี่สะสม 40 แสดงว่าข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่า80.5 มีอยู่ 40 จำนวนข้อสังเกต1. ค่าความถี่สะสมหาได้จากการบอกความถี่จากอันตรภาคชั้นที่คะแนนมีค่าน้อยไปสู่ชั้นที่มีค่ามาก2. ความถี่สะสมของอันตรภาคชั้นสุดท้าย คือ จานวนข้อมูลทั้งหมดนั่นเอง3. ค่าความถี่สะสมของอันตรภาคชั้นใดบอกให้ทราบว่า มีจานวนข้อมูลเท่าใดที่มีค่าน้อยกว่าขอบบนของชั้นนั้น4. ค่าความถี่ของอันตรภาคชั้นใด บอกให้ทราบว่า มีจานวนข้อมูลเท่าใดที่มีค่าอยู่ในอันตรภาคชั้นนั้น แผนภาพต้น-ใบ (Stem-and-Leaf Diagram) ใช้เพื่อจัดข้อมูลเป็นกลุ่มๆ และข้อมูลทุกตัวจะถูกแสดงในแผนภาพ ไม่เพียงแค่นับรวมว่าเป็นความถี่ในอันตรภาคชั้นเดียวกันเหมือนกับฮิสโตแกรม สมมติเรามีข้อมูลส่วนสูง(ซม.)ของนักเรียนชั้นป.6 จำนวน 20 คน ดังนี้
xx
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น